Question

5．已知曲線y=x²過點P的切線與曲線y=-2x²-1相切，求P點坐標．

Answer 1

分析 先設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式求出切線方程，根據(jù)此直線與曲線y=-2x²-1相切，轉(zhuǎn)化成方程2x²+2x₀x+1-x₀²=0只有一解，然后利用判別式為0，進行求解即可．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
由題意知曲線y=x²在P點的切線斜率為k=2x₀，
切線方程為y=2x₀x-x₀²，而此直線與曲線y=-2x²-1相切，
∴切線與曲線只有一個交點，
即方程2x²+2x₀x+1-x₀²=0的判別式△=4x₀²-2×4×（1-x₀²）=0．
解得x₀=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，y₀=$\frac{2}{3}$．
則P的坐標為（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，以及直線與二次函數(shù)相切的條件，屬于中檔題．