Question

1．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)點(diǎn)（a_n，a_n+2）在直線y=3x+2上，又知a₁=1，a₂=2，則數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n等于$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)（a_n，a_n+2）在直線y=3x+2上，可得a_n+2=3a_n+2，變形為a_n+2+1=3（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．由于奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，分組求和，利用差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)（a_n，a_n+2）在直線y=3x+2上，
∴a_n+2=3a_n+2，
∴a_n+2+1=3（a_n+1），
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₂+1=3，公比為3．
∴a_n+1=3×3^n-2．∴a_n=3^n-1-1．
∵奇數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=1+（n-1）×1=n．
∴數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n$
=$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{{n^2}-n-3+{3^{n+1}}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．