Question

9．設(shè)A是由有限個(gè)正整數(shù)組成的集合，若存在兩個(gè)集合B，C滿足：
①B∩C=∅；
②B∪C=A；
③B的元素之和等于C的元素之和．
則稱(chēng)集合A“可均分”，否則稱(chēng)A“不可均分”．
（Ⅰ）判斷集合M={1，3，9，27，…，3ⁿ}（n∈N^*）是否“可均分”，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求證：集合A={2015+1，2015+2，…，2015+93}“可均分”；
（Ⅲ）求出所有的正整整k，使得A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)“可均分”的定義進(jìn)行判斷即可；
（Ⅱ）結(jié)合可均分的定義進(jìn)行證明；
（Ⅲ）根據(jù)“可均分”的定義進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵1+3+9+…+3^n-1=$\frac{1×（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）＜3ⁿ，不滿足③，
則集合N={1，3，9，27，…，3ⁿ}（n∈N^*）“不可均分”．
（Ⅱ）設(shè)B₁={2015+1，2015+2，…，2015+47}，C₁={2015+48，2015+49，…，2015+93}，
考慮到[（2015+48）+（2015+49）+…+（2015+93）]-[（2015+1）+（2015+2）+…+（2015+47）]=46×46-（2015+1）=100．
將B₁中的2015+1與C₁中的2015+51交換，得到集合B，C，
則得到的B，C滿足條件①②③，
則集合A={2015+1，2015+2，…，2015+93}“可均分”；
（Ⅲ）一方面，假設(shè)A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”，則存在B，C滿足條件①②③，
∴（2015+1）+（2015+2）+…+（2015+k）=2016k+$\frac{k（k-1）}{2}$為偶數(shù)，
∴k=4a或k=4a+1（a∈N^*）．
設(shè)k=4a+1，不妨設(shè)B中的元素個(gè)數(shù)大于等于2a+1，C中的元素個(gè)數(shù)小于等于2a，
于是B的元素之和S_B≥（2015+1）+（2015+2）+…+[2015+（2a+1）]，
C的元素之和S_C≤[2015+（2a+2）]+[2015+（2a+3）]+…+[2015+（4a+1）]，
整理得：（2015+1）+（2015+2）+…+[2015+（2a+1）]
≤[2015+（2a+2）]+[2015+（2a+3）]+…+[2015+（4a+1）]，
即2016（2a+1）+$\frac{（2a+1）•2a}{2}$≤2a（2017+2a）+$\frac{2a（2a-1）}{2}$，
即4032a+2016+4a²+a≤4034a+4a²+2a²-a，
解得：a²≥504，即a≥23，
∴k=4a（a∈N*）或k=4a+1（a≥23，a∈N*）；
另一方面，當(dāng)k=4a（a∈N*）時(shí)，A={2015+1，2015+2，…，2015+k}中的連續(xù)四個(gè)必可分成兩兩一組，
其和相等；
∴A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”；
當(dāng)k=4a+1（a≥23，a∈N*）時(shí)，
由（Ⅱ）問(wèn)可知A={2015+1，2015+2，…，2015+k}的前93個(gè)數(shù)組成的集合“可均分”，
由前面的討論知可將剩下的4p個(gè)元素分成和相等的兩個(gè)不相交的子集，
即此時(shí)A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”．
綜上，k=4a（a∈N*）或k=4a+1（a≥23，a∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與集合有關(guān)的新定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．