Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），b=（cos$\frac{1}{2}$x，-sin$\frac{1}{2}$x），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．
①當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的最小值及最大值；
②試求f（x）的最小值g（λ）．

Answer 1

分析 （1）直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；利用向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，再利用向量模的公式求模；
（2）①把λ=$\frac{1}{2}$代入f（x），求出cosx的范圍后利用換元法求f（x）的最值；
②換元，然后求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程，再對(duì)λ分段求f（x）的最小值g（λ）．

解答 解：（1）量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{1}{2}$x，-sin$\frac{1}{2}$x），
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{1}{2}$x-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{1}{2}$x=cos（$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x$）=cos2x；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{1}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{1}{2}$x），
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{1}{2}x）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=2cosx$（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x-4λcosx．
①當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1，
令t=cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），則t∈[0，1]，
則y=2t²-2t-1，對(duì)稱(chēng)軸方程為t=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，${y}_{min}=2×（\frac{1}{2}）^{2}-2×\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$；當(dāng)t=0，t=1時(shí)，y_max=-1．
②f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1．
令t=cosx（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），則t∈[0，1]，
則y=2t²-4λt-1．
對(duì)稱(chēng)軸方程為t=λ．
當(dāng)λ≤0時(shí)，g（λ）=-1；當(dāng)λ≥1時(shí)，g（λ）=1-4λ；當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，g（λ）=-2λ²-1．
綜上，g（λ）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，λ≤0}\\{-2{λ}^{2}-1，0＜λ＜1}\\{1-4λ，λ≥1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積，考查了向量模的求法，訓(xùn)練了換元法求二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．