Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 先利用倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)f（x）化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用周期公式求出ω的值，根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1+cosωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx$=sin（$ωx+\frac{π}{6}$）．
因?yàn)門=$\frac{2π}{|ω|}=π$，ω＞0，所以ω=2．
因?yàn)閒（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），x∈R，
所以$-1≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
所以函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-1．     
（Ⅱ）令$2kπ-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2k$π-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了三解函數(shù)式的化簡及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決這類問題的關(guān)鍵是把三角函數(shù)式利用三角公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式．