Question

2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ） 估計(jì)這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)$\overline x$．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種總產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似服從正態(tài)分布N（μ，δ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline x$，δ²近似為樣本方差s²．（由樣本估計(jì)得樣本方差為s²=150）
（i）利用該正態(tài)分布，求P（Z＜212.2）；
（ii）若將這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值位于這三個(gè)區(qū)間（-∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等級(jí)分別為二等品，一等品，優(yōu)質(zhì)品，這三類(lèi)等級(jí)的產(chǎn)品在市場(chǎng)上每件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為2元，5元，10元．某商戶(hù)隨機(jī)從該企業(yè)批發(fā)100件這種產(chǎn)品后賣(mài)出獲利，記X表示這100件產(chǎn)品的利潤(rùn)，利用正態(tài)分布原理和（i）的結(jié)果，求EX．
附：$\sqrt{150}$≈12.2．若Z～N（μ，δ²），則P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，即可求出；
（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），P（200＜Z＜212.2）=0.3413，即可得出結(jié)論；
（ii）設(shè)這種產(chǎn)品每件利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y，求出E（Y），即可求得EX．

解答 解：（1）取個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值為區(qū)間代表計(jì)算得：
$\overline{x}$=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150．
（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，
所以P（200＜Z＜212.2）=0.3413，
所以P（Z＜212.2）=0.8413
（ii）設(shè)這種產(chǎn)品每件利潤(rùn)為隨機(jī)變量Y，其分布列為

Y	2	5	10
P	0.1587	0.6826	0.1587

E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，
E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算能力．