Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=30+7n-n²，n∈N^*．
（I）若a_n＞0，求n的取值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，是否存在最大項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由a_n=30+7n-n²＞0，解出即可得出．
（II）配方a_n=30+7n-n²=-$（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{169}{4}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由a_n=30+7n-n²＞0，化為（n-10）（n+3）＜0，n＞0，解得0＜n＜10，可得：n=1，2，…，9．
（II）a_n=30+7n-n²=-$（n-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{169}{4}$，
∴當(dāng)n=3或4時(shí)，a_n取得最大值．
∴數(shù)列{a_n}中，存在最大項(xiàng)為：a₃或a₄．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性、配方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．