Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${S_n}={n^2}-7n\;（n∈N*）$．
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式，并證明{a_n}為等差數(shù)列．
（2）求當n為多大時，S_n取得最小值．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥0}\end{array}\right.$，由${S_n}={n^2}-7n\;（n∈N*）$，能求出數(shù)列{a_n}通項公式，并能證明{a_n}為等差數(shù)列．
（2）由當${a_n}=2n-8\;≤0（n∈{N^*}）$時，解得n≤4，能求出S_n取得最小值是n的值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${S_n}={n^2}-7n\;（n∈N*）$，
∴當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{n^2}-7n）-[{（n-1）^2}-7（n-1）]$=2n-8，
當n=1時，S₁=a₁=-6，滿足上式，
∴${a_n}=2n-8\;（n∈{N^*}）$，
又∵${a_n}-{a_{n-1}}=（2n-8）-[2（n-1）-8]=2\;（n≥2，n∈{N^*}）$，
∴{a_n}為等差數(shù)列．
（2）∵當${a_n}=2n-8\;≤0（n∈{N^*}）$時，解得n≤4，
a₄=2×4-8=0，
∴當n=3或n=4，時S_n取得最小值．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的證明，考查S_n取得最小值時項數(shù)n的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．