Question

7．《數(shù)書九章》三斜求積術：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”．秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜，中斜和大斜，“術”即方法．以S，a，b，c分別表示三角形的面積，大斜，中斜，小斜，h_a，h_b，h_c分別為對應的大斜，中斜，小斜上的高，所以S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×^{2}-（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$=$\frac{1}{2}$ah_a=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c．已知h_a=3，h_b=4，h_c=6，根據(jù)上述公式，可以推理其對應邊分別為（　�。�

• A． $\frac{32\sqrt{15}}{15}$，$\frac{8\sqrt{15}}{5}$，$\frac{16\sqrt{15}}{15}$
• B． $\frac{32}{15}$，$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{15}$
• C． 4，3，2
• D． 8，6，4

Answer 1

分析 設該三角形的面積為S，a=$\frac{2S}{3}$，b=$\frac{S}{2}$，c=$\frac{S}{3}$，再代入面積公式解出S，進而求得三邊之長．

解答 解：設該三角形的面積為S，則有：
S=$\frac{1}{2}$ah_a=$\frac{1}{2}$bh_b=$\frac{1}{2}$ch_c，且h_a=3，h_b=4，h_c=6，
所以，a=$\frac{2S}{3}$，b=$\frac{S}{2}$，c=$\frac{S}{3}$，
代入公式S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×^{2}-（\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2}）^{2}]}$并平方得，
S²=$\frac{1}{4}$[$\frac{4S^2}{9}$•$\frac{S^2}{4}$-$\frac{1}{4}$•（$\frac{4S^2}{9}$+$\frac{S^2}{4}$-$\frac{S^2}{9}$）²]，
整理得，4S²=$\frac{S^4}{9}$-$\frac{49S^4}{24^2}$，
解得，S=$\frac{48}{\sqrt{15}}$=$\frac{16\sqrt{15}}{5}$，
所以，a=$\frac{2S}{3}$=$\frac{32\sqrt{15}}{15}$，b=$\frac{S}{2}$=$\frac{8\sqrt{15}}{5}$，c=$\frac{S}{3}$=$\frac{16\sqrt{15}}{15}$，
故選A．

點評 本題主要考查了應用三角形的面積公式求三角形的三邊長，具有一定的運算技巧，屬于中檔題．