Question

17．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1．
（1）當a≠0時，解關于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）對任意x∈A，均有f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a≠0時，解關于x的不等式f（x）≤3a²+1可化為x²-2ax-3a²≤0，解不等式可得答案；
（2）對任意x∈A，均有f（x）＞0，則即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，利用基本不等式，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≤3a²+1整理得x²-2ax-3a²≤0，即（x+a）（x-3a）≤0，
若a＞0，則解集為[-a，3a]，
若a＜0，則解集為[3a，-a]．              
（2）A={x|1≤x≤2}，
對任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立，
即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，
只需$2a＜{（x+\frac{1}{x}）_{min}}$，
當x=1時，${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2$，
所以2a＜2，即a＜1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，解二次不等式，恒成立問題，難度不大，屬于基礎題．