Question

11．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，其圖象關(guān)于原點中心對稱，且x＞0時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2．
（1）求f（x）在x≤-1時的解析式，并說明在（0，+∞）上f（x）的單調(diào)性：（不需證明）
（2）記f（x）在x∈[t，t+1]上的最大值為g（t），求g（t）的表達(dá)式（其中常數(shù) t＞0）．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可求出當(dāng)x小于零時的解析式，當(dāng)然也適合x≤-1；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性對t進(jìn)行分類討論，求得函數(shù)最大值的表達(dá)式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，其圖象關(guān)于原點中心對稱，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（0）=0
設(shè)x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$+2=-f（x）
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2（x＜0）；
在（0，+∞）上f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由（1）知，
在（0，+∞）上f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）；
∴當(dāng)t≥1時，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2；
當(dāng)0＜t＜1時，令f（t）=f（t+1）得：t+$\frac{1}{t}$=t+1+$\frac{1}{t+1}$
∴t=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
故當(dāng)0＜t＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$時，f（x）的最大值g（t）=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2；
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t＜1時，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2．
∴當(dāng)0＜t＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$時，f（x）的最大值g（t）=f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2；
當(dāng)$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$≤t時，f（x）的最大值g（t）=f（t+1）=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2．

點評 考察了奇函數(shù)的性質(zhì)和利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，難點是對t的分類討論．