Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）
（1）設(shè)a＞c＞0，若f（x）＞c²-2c+a對(duì)x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{a+c}{3a}$，由條件可得：2a＞a+c，所以x=$\frac{a+c}{3a}$＜$\frac{2a}{3a}$＜1，進(jìn)而得到f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到答案．
（2）二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{a+c}{3a}$，討論f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，根據(jù)根的存在性定理即可得到答案．

解答 解：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=3ax²-2（a+c）x+c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{a+c}{3a}$，
因?yàn)橛蓷l件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=$\frac{a+c}{3a}$＜$\frac{2a}{3a}$＜1，
所以二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[1，+∞）的左邊，且拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，
所以f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（1）=a-c，
因?yàn)閒（x）＞c²-2c+a對(duì)x∈[1，+∞]恒成立，
所以a-c＞c²-2c+a，
所以0＜c＜1；
（2）二次函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+c）x+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{a+c}{3a}$．
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{a+c}{3a}$）和（$\frac{a+c}{3a}$，1）內(nèi)分別有一零點(diǎn)．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（$\frac{a+c}{3a}$）=-$\frac{（a-c）^{2}+ac}{3a}$＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及根的存在性定理．