Question

3．關(guān)于x的方程$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$+$\frac{1}{sinxcosx}$-a=0在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)有解，則a的取值范圍是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得a=$\frac{sinx+cosx+1}{sinxcosx}$，令sinx+cosx=t∈（ 1，$\sqrt{2}$]，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，a=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$，再利用不等式的基本性質(zhì)求得a的范圍．

解答 解：由題意可得a=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{1}{cosx}$+$\frac{1}{sinx•cosx}$=$\frac{sinx+cosx+1}{sinxcosx}$，令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（ 1，$\sqrt{2}$]，
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，a=$\frac{t+1}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2}{t-1}$，故當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，a取得最小值為2$\sqrt{2}$+2，當(dāng)t趨于1時(shí)，a趨于無窮大，
故a的范圍為[2+2$\sqrt{2}$，+∞），
故答案為：[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．