Question

16．用定積分的幾何意義求下列各式的值．
（1）${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx；
（2）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx．

Answer 1

分析 由定積分的幾何意義可得
（1）${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圓x²+y²=4的圓x²+y²=4的在[-1，1]上圓的面積；
（2）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx表示正弦曲線和x軸在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]面積的代數(shù)和，由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得．

解答 解：（1）由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$可得x²+y²=4，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圓x²+y²=4的在[-1，1]上圓的面積
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=4π-（$\frac{2×4π}{3}$-2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$）=$\frac{4π}{3}$+$\sqrt{3}$；
（2）同理由定積分的意義可知${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx表示
正弦曲線和x軸在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]面積的代數(shù)和，
由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．