Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosφ\\;}\\{y=asinφ\\;}\end{array}\right.$（參數(shù)φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，實數(shù)a＞0），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=bcosφ\\;}\\{y=b+bsinφ\\;}\end{array}\right.$（參數(shù)φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，實數(shù)a＞0），曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0，其中0≤α≤π）與C₁交于A點，與C₂交于B點．
（1）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）若|OA|•|OB|的最大值為2$\sqrt{3}$，|OA|+|OB|的最大值為4，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，及其$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出極坐標(biāo)方程．
（2）把曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2ax=0，化為：t²-2atcosα=0，解得|OA|．把曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2by=0，化為：t²-2btsinα=0，解得|OB|．再利用|OA|•|OB|的最大值為2$\sqrt{3}$，|OA|+|OB|的最大值為4，及其三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式、倍角公式即可得出a，b．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosφ\\;}\\{y=asinφ\\;}\end{array}\right.$（參數(shù)φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，實數(shù)a＞0），化為普通方程：（x-a）²+y²=a²，展開為x²+y²-2ax=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2aρcosθ=0，即ρ=2acosθ．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=bcosφ\\;}\\{y=b+bsinφ\\;}\end{array}\right.$（參數(shù)φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，實數(shù)a＞0），化為普通方程：x²+（y-b）²=b²，展開為x²+y²-2by=0，化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2bρsinθ=0，即ρ=2bsinθ．
（2）把曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2ax=0，化為：t²-2atcosα=0，解得|OA|=2a|cosα|．
把曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2by=0，化為：t²-2btsinα=0，解得|OB|=2bsinα．
∴|OA|•|OB|=4absinα|cosα|≤2ab=2$\sqrt{3}$，
|OA|+|OB|=2a|cosα|+2bsinα≤4，∴$\sqrt{4{a}^{2}+4^{2}}$=4，則a²+b²=4，
聯(lián)立解得a=$\sqrt{3}$，b=1，或a=1，b=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．