Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-lnx，a∈R．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （I）求出a=2的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線方程；
（II）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論（i）若a≤0，（ii）若a＞0，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-lnx，
$f'（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}$．
則f′（1）=1，f（1）=1，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為l：y-f（1）=f'（1）（x-1），
所以切線方程為l：x-y=0；
（II）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}$．
（i）若a≤0，f′（x）＜0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（ii）若a＞0，令f′（x）=0，則$x=\sqrt{\frac{1}{a}}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\sqrt{\frac{1}{a}}）$	$\sqrt{\frac{1}{a}}$	$（\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，掌握分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．