Question

9．已知f（x）為定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）為二次函數，且滿足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的兩個零點為1和3．
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）若x∈（-∞，m），函數f（x）的圖象恒在y=-3的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出x＞0的f（x）的解析式，由f（2）=1，求得系數，得到解析式；再由奇函數的定義，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由題意可得x∈（-∞，m）時，f（x）的最小值大于-3．討論x＜0時的最大值，以及x＞0時，f（x）=-3的解，結合圖象即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）由題意，當x＞0時，設f（x）=a（x-1）（x-3）（a≠0），
∵f（2）=1，∴a=-1，∴f（x）=-x²+4x-3，
當x＜0時，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0時，f（x）=x²+4x+3，
當x=0時，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$；        
（2）作出f（x）的圖象（如圖所示）
由x∈（-∞，m），函數f（x）的圖象恒在y=-3的上方，
可得x∈（-∞，m）時，f（x）的最小值大于-3．
當x＜0時，f（x）=x²+4x+3在x=-2處取得最小值，且為-1；
當x＞0時，f（x）=-x²+4x-3的圖象開口向下，
令-x²+4x-3=-3，解得x=0或4，
綜上可得，m的范圍是m≤4．

點評 本題考查函數的解析式的求法，注意運用函數的奇偶性和待定系數法，考查不等式恒成立問題的解法，運用轉化思想和結合圖象是解題的關鍵．