Question

5．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的系數(shù)和大992，求（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求得n=5，可得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的通項公式，從而求得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項．

解答 解：根據(jù)（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的系數(shù)和大992，
可得2²ⁿ-2ⁿ=992，求得2ⁿ=32，或 2ⁿ=31（舍去），∴n=5．
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ=（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰ 的展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，
故第r+1項的系數(shù)為${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r，檢驗可得，當r=4時，第r+1項的系數(shù)為${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r最大，
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項為T₅=13440x²．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式；注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎題．