Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{2^{-x}}+1\\ f（{x-1}）\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{x≤0}\\{x＞0}\end{array}$，則下列命題中：
（1）函數(shù)f（x）為周期函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）（m∈N）上單調(diào)遞增；
（3）函數(shù)f（x）在x=m-1（m∈N）取到最大值0，且無最小值；
（4）若方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1）有且只有兩個不同的實根，則$a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）$．
正確的命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，由圖象對各選項進行判斷即可．x≤0時，$y=-{2}^{-x}+1=-（\frac{1}{2}）^{x}+1$，可由$y=（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象作關(guān)于x軸的對稱圖象，再向上平移一個單位得到．

解答 解：f（x）的圖象如圖所示：
（1）∵f（-1）=-1≠f（0）=0，故（1）不正確；
（2）由圖可知（2）正確；
（3）∵m=0時，f（m-1）=f（-1）=-1，不是最大值，故（3）不正確；
（4）如圖（2）所示，圖中兩條曲線對應(yīng)的a分別為$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$，故方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1），有且只有兩個實根，則a∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），故（4）正確．
∴正確命題的個數(shù)是2個．
故選：B．

點評 本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識，綜合性較強，考查利用所學(xué)知識解決問題的能力，是中檔題．