Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=e^mx-mx²．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線L₁的方程；
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，要使f（x）≥1對(duì)一切實(shí)數(shù)x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：$\sum_{i=1}^n{{e^{-i（i+1）}}}＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g（x）=f′（x），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論m的范圍，結(jié)合單調(diào)性，即可得到m的范圍；
（3）令m=1，由（2）得e^x＞x²+1，則$\frac{1}{e^x}＜\frac{1}{{{x^2}+1}}$$＜\frac{1}{x^2}$，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）m=2時(shí)，f（x）=e^2x-2x²，f′（x）=2e^2x-4x；
∴f′（0）=2，又f（0）=1；
則切線L₁方程為：y=2x+1；
（2）f′（x）=me^mx-2mx，設(shè)g（x）=f′（x），
g′（x）=m²e^mx-2m=m（me^mx-2），
令g′（x）=0，由m＞0，${x_0}=\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}$；
①當(dāng)m≥2時(shí)，因?yàn)閤≥0，則e^mx≥1，所以me^mx-2≥m-2≥0，g'（x）≥0，
∴f′（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增；
∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；
∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=1；
所以當(dāng)m≥2時(shí)滿足條件；
②當(dāng)$\frac{2}{e}≤m＜2$時(shí)，1≥$ln\frac{2}{m}＞0$，x₀∈（0，+∞）；
∴f′（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）單調(diào)遞增，
所以${f^'}（x）≥{f^'}（\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}）$=$2-2ln\frac{2}{m}≥0$；
∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）≥f（0）=1；
∴當(dāng)$\frac{2}{e}≤m＜2$時(shí)滿足條件；
③當(dāng)$0＜m＜\frac{2}{e}$時(shí)，$ln\frac{2}{m}＞1$，x₀∈（0，+∞）；
∴f′（x）在（0，x₀）單調(diào)遞增，f′（x）=0在（0，x₀）至多只有一個(gè)零點(diǎn)x₁；
又因?yàn)?{f^'}（\frac{1}{m}ln\frac{2}{m}）$=$2-2ln\frac{2}{m}＜0$，f′（0）=1＞0，
所以f′（x）=0在（0，x₀）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₁；
則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，x₁）單調(diào)遞增，在（x₁，x₀）單調(diào)遞減，
所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不滿足條件．
終上所述：當(dāng)$m≥\frac{2}{e}$時(shí)，f（x）≥1對(duì)一切x≥0的實(shí)數(shù)恒成立．
（3）令m=1，由（2）得e^x＞x²+1，則$\frac{1}{e^x}＜\frac{1}{{{x^2}+1}}$$＜\frac{1}{x^2}$，
令x=i（i+1）（i=2，3，…n），
則${e^{-i（i+1）}}＜\frac{1}{{{{（{i^2}+i）}^2}+1}}＜\frac{1}{{{{（{i^2}+i）}^2}}}＜\frac{1}{{（2i+1{）^2}}}＜\frac{1}{（2i-1）}-\frac{1}{（2i+1）}$，
當(dāng)i=1時(shí)，e^-i（i+1）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)i=2時(shí)，${e^{-i（i+1）}}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，當(dāng)i=3時(shí)，${e^{-i（i+1）}}＜\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$，
…，當(dāng)i=n時(shí)，${e^{-i（i+1）}}＜\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以$\sum_{i=1}^n{{e^{-i（i+1）}}}＜\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題和不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和裂項(xiàng)相消求和及不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．