Question

8．設(shè)不等式|2x-1|＜1的解集為M，a∈M，b∈M
（1）試比較ab+1與a+b的大小
（2）設(shè)max表示數(shù)集A的最大數(shù)，h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}$，$\frac{2}{\sqrt}$}，求證h≥2．

Answer 1

分析 （1）先求出a，b的范圍，作差法比較大小即可；（2）求出h³的最小值，從而求出h的最小值．

解答 解：（1）M={x|0＜x＜1}，（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1），
∵a，b∈M，∴a＜1，b＜1，∴a-1＜0，b-1＜0，
∴（a-1）（b-1）＞0，∴ab+1＞a+b；
（2）證明：由h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}$，$\frac{2}{\sqrt}$}，
得h≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$，h≥$\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}$，h≥$\frac{2}{\sqrt}$，
所以h³≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$•$\frac{{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{ab}}$•$\frac{2}{\sqrt}$=$\frac{4（{a}^{2}+^{2}）}{ab}$≥8，
故h≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的大小比較，考查絕對(duì)值不等式的解法，是一道中檔題．