Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C上的動點(diǎn)M和直線l上的動點(diǎn)N的距離的最小值；
（2）求過曲線C上某一點(diǎn)與直線l平行的切線被曲線C關(guān)于y軸對稱的曲線C′所截得的弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）分別把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離d，即可得出最小值；
（2）曲線C關(guān)于于y軸對稱的曲線C′為（x+2）²+y²=4．設(shè)與直線l平行的圓C的切線為x-$\sqrt{3}$y+m=0，利用直線與圓相切的充要條件可得m，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為x²+y²=4x，平方為（x-2）²+y²=4，可得圓心C（2，0），半徑r=2．
直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為$x-\sqrt{3}y+3=0$，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，
∴曲線C上的動點(diǎn)M和直線l上的動點(diǎn)N的距離的最小值=d-r=$\frac{1}{2}$；
（2）曲線C關(guān)于于y軸對稱的曲線C′為（x+2）²+y²=4．
設(shè)與直線l平行的圓C的切線為x-$\sqrt{3}$y+m=0，
則$\frac{|2-0+m|}{2}$=2，解得m=2或-6．
取m=2，可得切線x-$\sqrt{3}$y+2=0，
∵圓心（-2，0）經(jīng)過上述直線．
∴所截得的弦AB的長度為圓的直徑4．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．