Question

19．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinA，cosA），若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2．
（1）求內(nèi)角A的大�。�
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且c=$\sqrt{2}$a，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先求出向量$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，根據(jù)$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=2$便可得到$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）}=2$，從而可得到cosA=sinA，A是三角形的內(nèi)角，從而便可得出A的大小為$\frac{π}{4}$；
（2）由余弦定理可建立一個(gè)關(guān)于a的方程為：${a}^{2}-8\sqrt{2}a+32=0$，這樣解出a，從而確定了△ABC的邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（\sqrt{2}+cosA-sinA，sinA+cosA）$；
∴$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=\sqrt{（\sqrt{2}+cosA-sinA）^{2}+（sinA+cosA）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）}=2$；
∴$4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）=4$；
∴cosA-sinA=0；
∴cosA=sinA；
∵0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{4}$；
（2）由條件及余弦定理得：
${a}^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}-2•4\sqrt{2}•\sqrt{2}a•cos\frac{π}{4}$；
整理得：${a}^{2}-8\sqrt{2}a+32=0$；
解得$a=4\sqrt{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•4\sqrt{2}•8•sin\frac{π}{4}=16$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，cos²A+sin²A=1，以及余弦定理，三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．