Question

9．已知拋物線y=ax²和直線1：x+y-1=0，若拋物線上總存在關(guān)于l對稱的兩點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)對稱點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．由題意可設(shè)直線AB的方程為：y=x+m，與拋物線方程聯(lián)立，可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系，進而可得中點坐標表示m，代入△＞0即可．

解答 解：設(shè)拋物線上兩對稱點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．
由題意可設(shè)直線AB的方程為：y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，化為ax²-x-m=0．
由題意可得△＞0，即1+4am＞0．（*）
∴x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2a}$．
∵點M在直線x+y=1上，∴y₀=1-$\frac{1}{2a}$．
又y₀=x₀+m，
∴m=1-$\frac{1}{a}$．代入（*）可得：1+4a•（1-$\frac{1}{a}$）＞0，
化為4a＞3，解得a＞$\frac{3}{4}$．
則a的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 熟練掌握拋物線上關(guān)于已知直線存在對稱點問題轉(zhuǎn)化為判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、斜率乘積等于-1等是解題的關(guān)鍵．