Question

4．（1）求證：如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直．
（2）若將（1）中的條件改為“如果一個平面與另一個平面的垂面平行”，那么結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）過a和α內(nèi)的任一點作平面δ，設(shè)δ∩α=b．由線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）仍然成立，過β內(nèi)一點P作直線l，使得l⊥α，即有l(wèi)?β，l與γ內(nèi)任一點Q確定平面δ，設(shè)δ∩γ=l'，由面面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理，即可得到．

解答 （1）已知：a∥α，a⊥β，
求證：α⊥β．
證明：過a和α內(nèi)的任一點作平面δ，設(shè)δ∩α=b．
∵a∥α，∴a∥b．
∵a⊥β，∴b⊥β．
∵b?α，∴α⊥β．
（2）結(jié)論仍然成立．
即為如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直．
已知：α⊥β，β∥γ，求證：α⊥γ．
證明：過β內(nèi)一點P作直線l，使得l⊥α，
即有l(wèi)?β，l與γ內(nèi)任一點Q確定平面δ，設(shè)δ∩γ=l'，
由β∥γ，可得l∥l'，
則l'⊥α，又l'?γ，
即有α⊥γ．

點評 本題考查空間線面的位置關(guān)系，主要考查面面垂直的判定和性質(zhì)定理，考查推理能力，屬于中檔題．