Question

20．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)，使四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）利用垂直平分線的性質(zhì)即可得出；
（3）利用兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)AC中點(diǎn)為M，則$M（\frac{3}{2}，2）$
由ABCD為平行四邊形知M為BD中點(diǎn)，而B(niǎo)（3，2）
故D（0，2）．
（2）直線AB方程為y=x-1
過(guò)點(diǎn)C且與AB垂直的直線方程為y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+6\end{array}\right.$，得交點(diǎn)E為$（{\frac{7}{2}，\frac{5}{2}}）$，
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
則E為C，C′的中點(diǎn)，故C′點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1）．
（3）$AB=\sqrt{{{（1-3）}^2}+{{（0-2）}^2}}=2\sqrt{2}$，
點(diǎn)C（2，4）到直線AB：x-y-1=0的距離為$d=\frac{|2-4-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．