Question

【題目】已知拋物線上點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)和為拋物線上的兩個動點(diǎn)，其中且，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,再根據(jù)切點(diǎn)在切線上,解方程組得（2）設(shè)線段中點(diǎn)，根據(jù)斜率公式得，根據(jù)點(diǎn)斜式得線段的垂直平分線方程,解得T坐標(biāo),利用點(diǎn)到點(diǎn)到直線距離公式得高,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及弦長公式得底|AB|,根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關(guān)系,最后根據(jù)均值不等式求最值

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得，求導(dǎo)，

因?yàn)橹本�的斜率為-1，所以且，解得，

所以拋物線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)線段中點(diǎn)，則

，

∴直線l的方程為，

即， 過定點(diǎn).

聯(lián)立

得，

，

設(shè)到AB的距離，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即 (-2,2)時取等號，

的最大值為.