Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分類討論若時(shí)、時(shí)和時(shí)三種情況，分別給出單調(diào)性（2）法一：構(gòu)造，求導(dǎo)算出最值，構(gòu)造，利用二階導(dǎo)數(shù)，得，從而得證；法二：利用放縮法當(dāng)時(shí)，得，即，然后再證明；法三：對(duì)問(wèn)題放縮由于，則只需證明，然后給出證明

解析：解法一：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

①若時(shí)，則， 在上單調(diào)遞減；

②若時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

故在上， 單調(diào)遞減；在上， 單調(diào)遞増；

③若時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

故在上， 單調(diào)遞減；在上， 單調(diào)遞増.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時(shí)， .故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時(shí)， ，

故存在，使得，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

故存在，使得，

即當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，

故當(dāng)時(shí)，

所以，

即.

解法二：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時(shí)， .故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又，所以，

所以，

即原不等式成立.

解法三：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

由于，則只需證明，

只需證明，令，

則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，

所以成立，

即原不等式成立.