Question

15．已知等比數列{a_n}中a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，則a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n•a_n+1等于（　�。�

• A． 16（1-4^-n）
• B． 16（1-2ⁿ）
• C． $\frac{32}{3}（1-{4^{-n}}）$
• D． $\frac{32}{3}（1-{2^{-n}}）$

Answer 1

分析 設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，由等比數列的通項公式求出a₁和q，代入a_n•a_n+1化簡并判斷出數列{a_n•a_n+1}是等比數列，利用等比數列的前n項和公式化簡所求的式子．

解答 解：設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
因為等比數列{a_n}中，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，
所以${q}^{3}=\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，則q=$\frac{1}{2}$，
由a₂=2得，a₁=4，
所以a_n•a_n+1=4•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（4$•\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{2n-5}}$=8•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，
所以數列{a_n•a_n+1}是以8為首項、$\frac{1}{4}$為公比的等比數列，
則a₁•a₂+a₂•a₃+a₃•a₄+…+a_n•a_n+1=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}（1-{4}^{-n}）$，
故選：C．

點評 本題考查等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，以及等比數列的判斷，屬于中檔題．