Question

20．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得極小值-$\frac{4}{3}$．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若$\frac{1}{3}$x³+ax+b≤m²+m+$\frac{10}{3}$對x∈[-4，0]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，再根據在x=2處取得極小值$-\frac{4}{3}$，得到$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（2）=0\\ f（2）=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）先根據導數求出函數f（x）的最大值，再解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（2）=0\\ f（2）=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=4\end{array}\right.$，
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．
（Ⅱ）f′（x）=x²+a，令有x=±2．
當x∈[-4，0]時，f（x）在[-4，-2]上遞增，在[-2，0]上遞減，
故f（x）在[-4，0]上最大值$f（-2）=\frac{28}{3}$，
依題意，${m^2}+m+\frac{10}{3}≥\frac{28}{3}$，
即m²+m+6≥0，
解得m＞2或m＜-3，
∴{m|m＞2或m＜-3}．

點評 本題考查了導數和函數的極值的和最值的關系以及恒成立問題，屬于中檔題．