Question

3．已知集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}．
（1）當(dāng)常數(shù)a∈R，求集合A；
（2）在（1）的結(jié)論下，若B={x|1＜x＜a²-1}且A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）ax²-（a+a²）x+a²=a[x²-（1+a）x+a]，解x²-（1+a）x+a得：x=1，或x=a；對a值分類討論，可得不同情況下的集合A；
（2）當(dāng)A=∅，或B=∅時，滿足A∩B=∅；當(dāng)A≠∅，且B≠∅時，若A∩B=∅，則集合A，B沒有公共元素，分灶討論各種情況下實數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵ax²-（a+a²）x+a²=a[x²-（1+a）x+a]，
解x²-（1+a）x+a得：x=1，或x=a；
當(dāng)a＞1時，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜1，或x＞a}，
當(dāng)a=1時，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜1，或x＞1}，
當(dāng)0＜a＜1時，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|x＜a，或x＞1}，
當(dāng)a=0時，集合A=∅，
當(dāng)a＜0時，集合A={x|ax²-（a+a²）x+a²＞0}={x|a＜x＜1}
（2）當(dāng)-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$時，a²-1≤1，此時B=∅，滿足A∩B=∅，
當(dāng)a＜$-\sqrt{2}$時，A={x|a＜x＜1}，滿足A∩B=∅，
當(dāng)a$＞\sqrt{2}$時，集合A={x|x＜1，或x＞a}，
若A∩B=∅，則a≥a²-1，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故$\sqrt{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
綜上所述，a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點評 本題考查的知識點是二次不等式的解法，集合的交集，分類討論思想，難度中檔．