Question

14．已知命題P：在R上定義運(yùn)算?：x?y=（1-x）y，不等式x?ax＜1對任意實(shí)數(shù)x恒成立；命題Q：若不等式$\frac{{x}^{2}-ax+6}{x+1}$≥2對任意的x∈N^*恒成立．若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過P為真，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；通過Q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，通過P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，分類討論求出求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：P真，（1-x）ax＜1恒成立?ax2-ax+1＞0恒成立，
（1）a=0時(shí)，恒成立，
（2）$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4，
所以0≤a＜4，
Q真，$\frac{{x}^{2}-ax+6}{x+1}$≥2對任意的x∈N^*恒成立?a≤（x+$\frac{4}{x}$-2）_min=2，
所以a≤2，
∵P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，
∴所以P與Q為一真一假，
當(dāng)P真Q假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{0≤a＜4}\\{a＞2}\end{array}\right.$，解得2＜a＜4，
當(dāng)P假Q(mào)真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{a＜0或a≥4}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得a＜0，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，0）∪（2，4）．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，以及恒成立的問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．