Question

4．已知集合M是由具有如下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的集合：對(duì)于函數(shù)f（x），在定義域內(nèi)存在兩個(gè)變量x₁，x₂且x₁＜x₂時(shí)有f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．則下列函數(shù)：①f（x）=e^x（x＞0）②f（x）=$\frac{lnx}{x}$③f（x）=$\sqrt{x}$④f（x）=1+sinx在集合M中的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)存在割線斜率小于1，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行求解．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x），在定義域內(nèi)存在兩個(gè)變量x₁，x₂且x₁＜x₂時(shí)有f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
即等價(jià)為$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1
即存在割線斜率小于1，
①若f（x）=e^x（x＞0），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，
∵x＞0，∴f′（x）＞1，不滿足條件．
②若f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則當(dāng)x=e時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lne}{{e}^{2}}=0$滿足f′（x）＜1，即滿足條件．
③若f（x）=$\sqrt{x}$，x≥0，
則則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
則當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{2}$滿足f′（x）＜1，即滿足條件．
④若f（x）=1+sinx，則f′（x）=cosx≤1，
故滿足f′（x）＜1，即滿足條件．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的新定義，利用條件轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．