Question

18．已知非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線．若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow$，$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$，求證：A，B，C，D四點共面．

Answer 1

分析 不存在實數(shù)k，使得$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，可知：$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$不共面．令$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，則$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+y$（3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$，利用非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，即可得出．

解答 證明：∵不存在實數(shù)k，使得$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，可知：$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$不共面．
令$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
則$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow$=x$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$+y$（3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$=（x+3y）$\overrightarrow{a}$+（x-3y）$\overrightarrow$，
又非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=x+3y}\\{8=x-3y}\end{array}\right.$，解得x=5，y=-1．
∴存在實數(shù)x，y使得$\overrightarrow{AC}$=$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴A，B，C，D四點共面．

點評 本題考查了向量的共線定理、向量的共面基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．