Question

6．在等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0，設b_n=log₂a_n．且b₁+b₂+b₃=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求{a_n}的通項a_n．
（2）若c_n=$\frac{1}{n（_{n}-6）}$，求{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的通項公式，結合b_n=log₂a_n化簡b₁•b₃•b₅=0得a₅=1且b₅=0，代入b₁+b₃+b₅=6得log₂a₁a₃=6，由此算出a₂=8，解出公比q，即可得出{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）運用對數(shù)的運算性質可得b_n，求得c_n=$\frac{1}{n（_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求．

解答 解：（1）依題意，a_n=a₁q^n-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴數(shù)列{a_n}是單調數(shù)列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4，
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1，
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a₃q²=1，即q²=$\frac{1}{4}$，
解之得q=$\frac{1}{2}$（舍負）．
∴a_n=a₅q^n-5=2^5-n；
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
c_n=$\frac{1}{n（_{n}-6）}$=-$\frac{1}{n（n+1）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
前n項和S_n=-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-（1-$\frac{1}{n+1}$）=-$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的定義與運算性質和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和等知識，屬于中檔題．