Question

16．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值以及中間項(xiàng)．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)通項(xiàng)公式求得2${C}_{n}^{1}$•2^-1=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•2^-2，可得n=8，從而求得它的中間項(xiàng)．

解答 解：根據(jù)（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{n-2r}{2}}$的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，
可得 2${C}_{n}^{1}$•2^-1=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•2^-2，求得n=1（舍去）或n=8，
故它的中間項(xiàng)為T₅=${C}_{8}^{4}$•2^-4=70．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．