Question

16．設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）當(dāng)m=1時，求函數(shù)y=g（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有兩個極值點a，b，且a＜b，記{x}表示大于x的最小整數(shù)，求{g（a）}-{g（b）}的值．

Answer 1

分析 （1）把m=1代入函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)，得到切線的斜率，則切線方程可求；
（2）求出函數(shù)y=g（x）的定義域，求得導(dǎo)函數(shù)，由m得范圍得到g′（x）所在不同區(qū)間內(nèi)的符號，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）得到函數(shù)y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有兩個極值點的m的范圍，由a，b為方程2x²-2x+m=0的兩相異正根，及根與系數(shù)關(guān)系，得到a，b的范圍，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求導(dǎo)得到g（b）的取值范圍，進(jìn)一步求得{g（a）}（或{g（b）}），則答案可求．

解答 解：（1）函數(shù)y=g（x）=x²-2x+1+mlnx，$g′（x）=2x-2+\frac{1}{x}$，k=g′（1）=1，
則切線方程為y=x-1，
故所求切線方程為x-y-1=0；
（2）函數(shù)y=g（x）的定義域為（0，+∞），${g}^{′}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{2{x}^{2}-2x+m}{x}$，
令g′（x）=0并結(jié)合定義域得2x²-2x+m＞0．
①當(dāng)△≤0，即m$≥\frac{1}{2}$時，g′（x）≥0，則函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)△＞0且m＞0，即0$＜m＜\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為$（0，\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}），（\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}，+∞）$；
③當(dāng)△＞0且m≤0，即m≤0時，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為$（\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}，+∞）$；
（3）由（2）得0$＜m＜\frac{1}{2}$，a，b為方程2x²-2x+m=0的兩相異正根，
$\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}$，
又由2b²-2b+m=0，得m=-2b²+2b，
∴g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb，b∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，
$g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-\frac{1}{2}）lnb$，
當(dāng)b∈$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$時，g′（b）＞0，即函數(shù)g（b）是$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$上的增函數(shù)．
故g（b）的取值范圍是$（\frac{1-2ln2}{4}，\frac{1-6ln\frac{4}{3}}{16}）$，則{g（b）}=0．
同理可求得g（a）的取值范圍是$（\frac{1-2ln2}{4}，\frac{9-12ln2}{16}）$，則{g（a）}=0或{g（a）}=1．
∴{g（a）}-{g（b）}=0或1．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了方程根個數(shù)的判斷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了計算能力，是壓軸題．