Question

6．在三棱錐P-ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過(guò)點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為8．

Answer 1

分析 如圖所示，過(guò)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)．過(guò)點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．由作圖可知：四點(diǎn)EFMN共面．可得$\frac{EF}{AC}=\frac{MN}{AC}$=$\frac{2}{3}$，EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．

解答 解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)
過(guò)點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．
由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面
可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{MN}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
可得EF=MN=2．
同理可得：EN=FM=2．
∴截面的周長(zhǎng)為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形重心的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力用途計(jì)算能力，屬于中檔題．