Question

6．已知正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁，下列命題：
①（ $\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$）²=3$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$²，
②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=0
③向量$\overrightarrow{A{D_1}}$與向量$\overrightarrow{{A_1}B}$的夾角為60°
④正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁的體積為$|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{AD}|$，
其中正確命題序號(hào)是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①④
• D． ①②④

Answer 1

分析 利用正方體的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到正確選項(xiàng)．

解答 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（0，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（1，0，0，），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，0，-1），
所以對(duì)于①（ $\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$）²=（1，1，1）²=3=3$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$²，故①正確；
對(duì)于②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=（1，1，1）（0，1，-1）=0；故②正確；
對(duì)于③，Y因?yàn)?\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-1）（0，1，1）=-1，向量$\overrightarrow{A{D_1}}$與向量$\overrightarrow{{A_1}B}$的夾角為120°；故③錯(cuò)誤；
④正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁的體積為$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{A{A}_{1}}||\overrightarrow{AD}|$，但是$|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{AD}|$=0，故④錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體性質(zhì)定義域以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．