Question

16．已知f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）定義域?yàn)閙≤x≤n，值域是log_a[a（n-1）]≤f（x）≤log_a[a（m-1）]．
（1）求證：m＞3；
（2）求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可證明m＞3；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵0＜a＜1，
∴函數(shù)f（x）在[m，n）上為減函數(shù)，
則函數(shù)的取值范圍為f（n）＜f（x）≤f（m），
即log_a$\frac{m-3}{m+3}$=log_a[a（m-1）]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-3}{m+3}＞0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞3或m＜-3}\\{m＞1}\end{array}\right.$，
解得m＞3．
（2）∵f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）在[m，n]遞減，
∴l(xiāng)og_a$\frac{n-3}{n+3}$≤f（x）≤log_a$\frac{m-3}{m+3}$．
∵log_a[a（n-1）]≤f（x）≤log_a[a（m-1）]．
∴l(xiāng)og_a[a（n-1）]=log_a$\frac{n-3}{n+3}$，
log_a$\frac{m-3}{m+3}$=log_a[a（m-1）]．
即$\frac{m-3}{m+3}$=a（m-1）
則a=$\frac{m-3}{（m-1）（m+3）}$=$\frac{m-3}{{m}^{2}+2m-3}$=$\frac{m-3}{（m-3）^{2}+8（m-3）+12}$=$\frac{1}{（m-3）+\frac{12}{m-3}+8}$，
∵m＞3，
∴m-3+$\frac{12}{m-3}$+8$≥8+2\sqrt{（m-3）•\frac{12}{m-3}}$=8+4$\sqrt{3}$．
∴0＜$\frac{1}{（m-3）+\frac{12}{m-3}+8}$$≤\frac{1}{8+4\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故0＜a≤$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故a∈（0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．在求最值的過程中使用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．