Question

15．已知角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，-1），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上任意兩點(diǎn)，若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再將f（x）的圖象的每個(gè)點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求得φ=-$\frac{π}{4}$，再根據(jù) $\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，求得ω=3，可得f（x）的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得到y(tǒng)=g（x）=2cos（9x+$\frac{π}{4}$）的圖象，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的遞增區(qū)間．

解答 解：（1）角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，-1），故有sinφ=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
又|f（x₁）-f（x₂）|=|2sin（ωx₁-$\frac{π}{4}$）-2sin（ωx₂-$\frac{π}{4}$）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，∴ω=3，故f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可得函數(shù)y=2sin[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]
=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）=2cos（3x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再將f（x）的圖象的每個(gè)點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$，得到y(tǒng)=g（x）=2cos（9x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
令2kπ-π≤9x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，求得 $\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$≤x≤$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$，$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$]，k∈Z．
故函數(shù)在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{36}$]、[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{36}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．