Question

8．若P滿足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0），則$\frac{y-2}{x-4}$的最小值是$\frac{4-\sqrt{7}}{6}$．

Answer 1

分析 通過記Q（4，2）可知k=$\frac{y-2}{x-4}$即為過橢圓上點(diǎn)P與點(diǎn)Q的直線的斜率，通過聯(lián)立直線PQ與橢圓方程并令△=0，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：記Q（4，2），k=$\frac{y-2}{x-4}$，則所求值k即為過橢圓上點(diǎn)P與點(diǎn)Q的直線的斜率，
易知直線PQ的方程為：y=kx+2-4k，并與橢圓方程聯(lián)立，
消去x整理得：（4k²+1）x²-16k（2k-1）x+16（2k-1）²-4=0，
要使k最小，只需上述方程只有唯一一個(gè)解，
即△=[-16k（2k-1）]²-4（4k²+1）[16（2k-1）²-4]=0，
化簡(jiǎn)得：12k²-16k+3=0，
解得：k=$\frac{4+\sqrt{7}}{6}$（舍）或k=$\frac{4-\sqrt{7}}{6}$，
故答案為：$\frac{4-\sqrt{7}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．