Question

16．己知函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|．
（1）若a，b∈R且α＜b，滿足f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2，求a，b；
（2）函數(shù)g（x）滿足1-$\frac{1}{m}$g（x）=f（10^2x-1-1），m為常數(shù)且m＞0，若x₀滿足g（g（x₀））=x₀，但g（x₀）≠x₀，則稱x₀為函數(shù)g（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，如果g（x）有二階不動(dòng)點(diǎn)x₁，x₂，試確定m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，α＜b，f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解得答案．
（2）根據(jù)已知中二階不動(dòng)點(diǎn)的定義，先求出g（x）的解析式，再分類討論不同情況下，g（x）是否有二階不動(dòng)點(diǎn)x₁，x₂，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2=lg16，
∴$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，或（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，5a+3b+22=16或16（5a+3b+22）=1，
又∵α＜b，
∴①當(dāng)$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，5a+3b+22=16時(shí)，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$
②當(dāng)（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，5a+3b+22=16時(shí)，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍去）；
③當(dāng)$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，16（5a+3b+22）=1不存在滿足條件的a，b的值；
④當(dāng)（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，16（5a+3b+22）=1時(shí)，不存在滿足條件的a，b的值；
綜上所述：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$，
（2）∵1-$\frac{1}{m}$g（x）=f（10^2x-1-1）=|lg（10^2x-1-1+1）|=|lg（10^2x-1）|=|2x-1|．
∴$\frac{1}{m}$g（x）=1-|2x-1|，
∴g（x）=m（1-|2x-1|），
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，有g(shù)（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}4{m}^{2}x，x≤\frac{1}{2}\\ 4{m}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g（g（x））=x只有一個(gè)解x=0，
又∵g（0）=0，故0不是二階不動(dòng)點(diǎn)．
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，有g(shù)（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤\frac{1}{2}\\ 1-x，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g（g（x））=x有解集，{x|x≤$\frac{1}{2}$}，故此集合中的所有點(diǎn)都不是二階不動(dòng)點(diǎn)．
當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，有g(shù)（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}4{m}^{2}x，x≤\frac{1}{4m}\\ 2m-4{m}^{2}x，\frac{1}{4m}＜x≤\frac{1}{2}\\ 2m（1-2m）+4{m}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4m-1}{4m}\\ 4{m}^{2}-4{m}^{2}x，x＞\frac{4m-1}{4m}\end{array}\right.$，
∴g（g（x））=x有四個(gè)解：0，$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，$\frac{2m}{1+2m}$，$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$．
由g（0）=0，g（$\frac{2m}{1+2m}$）=$\frac{2m}{1+2m}$，g（$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$）≠$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，g（$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$）≠$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$．
故只有$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$是g（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，
綜上所述，所求m的取值范圍為m＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對(duì)值函數(shù)，新定義二階不動(dòng)點(diǎn)，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．