Question

13．已知點P在橢圓：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1上，橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，定點M（2，1），求|PM|+|PF₁|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 通過連結PF₂、|MF₂|，利用橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=8，通過兩點間距離公式計算可知|MF₂|=$\sqrt{2}$，利用|PM|≥|PF₂|-|MF₂|、|PM|≤|PF₂|+|MF₂|計算即得結論．

解答 解：連結PF₂、MF₂，如圖，則|PF₁|+|PF₂|=8，
|MF₂|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵|PM|≥|PF₂|-|MF₂|，
∴|PM|+|PF₁|≥|PF₂|-|MF₂|+|PF₁|≥8-$\sqrt{2}$，
∵|PM|≤|PF₂|+|MF₂|，
∴|PM|+|PF₁|≤|PF₂|+|MF₂|+|PF₁|≥8+$\sqrt{2}$，
∴|PM|+|PF₁|的最大值和最小值分別為$8+\sqrt{2}$和$8-\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查數(shù)形結合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．