Question

9．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．
（I）求α的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出2cos²α+3cosα-2=0，由此能求出α．
（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x-α）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由$x∈[0，\frac{π}{4}]$，得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，由此能求出函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．
∴2sin²α=3cosα，
∴2-2cos²α=3cosα，
∴2cos²α+3cosα-2=0，
解得$cosα=\frac{1}{2}$或cosα=-2（舍），
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵α=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=4cosxcos（x-α）
=4cosx（cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$）
=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\sqrt{3}sin2x$+cos2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，
∴2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域為[2，3]．

點評 本題考查角的求法，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理運用．