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設Sn=+…+.求證：不等式＜Sn＜對所有的正整數n都成立.

思路解析：由要證的不等式聯想到兩個公式：=1+2+…+n, =［1+3+…+(2n-1)+(2n+1)］,因此要對Sn中每一項進行適當的放縮，再求和.

證法一：一方面：Sn＞+…+=1+2+…+n=,另一方面：Sn＜++…+＜++…+=,所以＜Sn＜.

證法二：（數學歸納法）

（1）當n=1時，=1，Sn==，=2，所以＜Sn＜.

（2）假設n=k（k為正整數）時不等式成立,即＜Sk＜.

當n=k+1時，+＜Sk+＜

+

*+＜Sk+1＜+

*+(k+1)＜Sk+1＜+

*＜Sk+1＜

* ＜Sk+1＜,

即當n=k+1時，不等式成立.

（1）和（2）知對所有的正整數n,有＜Sn＜.

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科目：高中數學 來源：2013年安徽省合肥市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數{an}中，a1=1，a2=，an+1-an+an-1=0（n≥2，且n∈N*）
（I）若數列{an+1+λan}是等比數列，求實數λ；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設Sn=求證：Sn＜．

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