Question

20．設(shè)m個不全相等的正數(shù)a₁，a₂，…，a_m（m≥3）依次圍成一個圓圈．
（1）設(shè)m=2015，且a₁，a₂，a₃，…，a₁₀₀₈是公差為d的等差數(shù)列，而a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比為q=d的等比數(shù)列；數(shù)列a₁，a₂，…，a_m的前n項(xiàng)和S_n（n≤m）滿足S₃=15，S₂₀₁₅=S₂₀₁₃+12a₁，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a₁=a，a₂=b（a≠b），若數(shù)列a₁，a₂，…，a_m每項(xiàng)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求a₈；
（3）在（2）的條件下，m≤2015，求符合條件的m的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比為d的等比數(shù)列，求出d，S₃=3a₁+3d=15，解得a₁=2，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定a_n=a_n-1a_n+1，依此類推a₈=a₂=b；
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反證法進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）因a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比為d的等比數(shù)列，
從而${a_{2015}}={a_1}q，{a_{2014}}={a_1}{q^2}$（1分）
由S₂₀₁₅=S₂₀₁₃+12a₁，a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=12a₁，（2分）
故解得d=3或d=-4（舍去）（3分）
因此d=3，又S₃=3a₁+3d=15，解得a₁=2（4分）
從而當(dāng)n≤1008時，a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1（5分）
當(dāng)1009≤n≤2015時，由a₁，a₂₀₁₅，a₂₀₁₄，…，a₁₀₀₉是公比為d的等比數(shù)列得${a_n}={a_1}{d^{2015-（{n-1}）}}={a_1}{3^{2016-n}}$（1009≤n≤2015），
因此${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3n-1，n≤1008\\ 2•{3^{2016-n}}，1009≤n≤2015\end{array}\right.$（6分）
（2）由題意${a_n}^2={a_{n-1}}^2{a_{n+1}}^2，{a_m}^2={a_{m-1}}^2{a_1}^2，{a_1}^2={a_m}^2{a_2}^2$，
∴a_n=a_n-1a_n+1，（7分）
得${a_3}=\frac{a_2}{a_1}，{a_4}=\frac{1}{a_1}，{a_5}=\frac{1}{a_2}，{a_6}=\frac{a_1}{a_2}$，（8分）a₇=a₁=a（9分）
依此類推a₈=a₂=b（10分）
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，（11分）                                 
${a_n}^2={a_{n-1}}^2{a_{n+1}}^2，{a_m}^2={a_{m-1}}^2{a_1}^2，{a_1}^2={a_m}^2{a_2}^2$得$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={a_{n-1}}{a_{n+1}}（1＜n＜m），①\\{a_m}={a_{m-1}}{a_1}②\\{a_1}={a_m}{a_2}③\end{array}\right.$
又${a_{r+3}}=\frac{{{a_{r+2}}}}{{{a_{r+1}}}}=\frac{{{a_{r+1}}}}{a_r}•\frac{1}{{{a_{r+1}}}}=\frac{1}{a_r}（1≤r≤m-3）$，（12分）
④故有${a_{r+6}}=\frac{1}{{{a_{r+3}}}}={a_r}（1≤r≤m-6）$．⑤（13分）
若不然，設(shè)m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，則由此得a_m=a_6k+1=a₁，
而由③得${a_m}=\frac{a_1}{a_2}，故{a_1}=\frac{a_1}{a_2}$，得a₂=1，（14分）
由②得${a_{m-1}}=\frac{a_m}{a_1}，從而{a_6}={a_{6k}}={a_{m-1}}$，
而${a_6}=\frac{a_1}{a_2}，故{a_1}={a_2}=1，由$此推得a_n=1（1≤n≤m）與題設(shè)矛盾，（15分）
同理若P=2，3，4，5均可得a_n=1（1≤n≤m）與題設(shè)矛盾，
因此m=6k為6的倍數(shù)．（16分）

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．