Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，CC₁=AB=AC=BC=4，D為線段AC的中點．
（Ⅰ）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅲ）求三棱錐D-C₁CB的體積．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)B₁C交BC₁于點M，連結(jié)DM，根據(jù)中位線定理得出AB₁∥DM，故而AB₁∥平面BC₁D；
（II）由BD⊥AC，BD⊥CC₁即可得出BD⊥平面AA₁C₁C，故平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁；
（III）以△BCD作棱錐的底面，則CC₁為棱錐的高，代入體積公式計算．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)B₁C交BC₁于點M，連結(jié)DM，
∵D為AC中點，M為B₁C中點，
∴DM∥AB₁，又∵AB₁?平面BC₁D，DM?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（Ⅱ）∵CC₁⊥底面ABC，BD?底面ABC，
∴CC₁⊥BD．
∵AB=BC，D為AC中點，
∴BD⊥AC．又∵AC?A₁ACC₁，CC₁?平面A₁ACC₁，AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，∵BD?平面C₁DB，
∴平面BC₁D⊥平面A₁ACC₁．
（Ⅲ）∵CD=$\frac{1}{2}AC=2$，BC=4，BD⊥AC，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵CC₁⊥底面ABC，∴CC₁為三棱錐C₁-DBC的高，
所以${V_{D-{C_1}CB}}={V_{{C_1}-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}×C{C_1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×4=\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．