Question

16．中央電視臺“星光大道”節(jié)目的現(xiàn)場觀眾來自4所學(xué)校，分別在圖中的四個區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ坐定．有4種不同顏色的服裝，同一學(xué)校的觀眾必須穿上同種顏色的服裝，且相鄰兩個區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同著裝方法有多少種？

Answer 1

分析 根據(jù)題意，按觀眾的顏色數(shù)目不同分三種情況討論：①四所學(xué)校的觀眾著裝顏色各不相同時，即有4種顏色時，②四所學(xué)校的觀眾著裝顏色有三種時，即有兩所相同時，只能是Ⅰ與Ⅲ，或Ⅱ與Ⅳ，③四所學(xué)校的觀眾著裝顏色有兩種時，則Ⅰ與Ⅲ相同，同時Ⅱ與Ⅳ相同；分別求出每種情況下得到方法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，按觀眾的顏色數(shù)目不同分三種情況討論：
①四所學(xué)校的觀眾著裝顏色各不相同時，有A${\;}_{4}^{4}$=24種方法；
②四所學(xué)校的觀眾著裝顏色有三種時，即有兩所相同時，只能是Ⅰ與Ⅲ，或Ⅱ與Ⅳ，故有2C${\;}_{4}^{3}$A${\;}_{3}^{3}$=48種方法；
③四所學(xué)校的觀眾著裝顏色有兩種時，則Ⅰ與Ⅲ相同，同時Ⅱ與Ⅳ相同，故有A${\;}_{4}^{2}$=12種方法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有24+48+12=84種方法；
答：不同著裝方法有84種．

點評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題時注意分析圖形中四個區(qū)域的相鄰關(guān)系，再結(jié)合排列、組合數(shù)公式進(jìn)行計算．