Question

5．已知直線l：y=2x和雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）無公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 雙曲線與直線y=2x無交點，有$\frac{a}$≤2，利用e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$可得e的范圍．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線與直線y=2x無交點，
∴$\frac{a}$≤2，
即e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{5}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\sqrt{5}$．
故答案為：（1，$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，直線與雙曲線相交等問題，屬于基礎題．